# Wolfe conditions

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Wolfe conditions

In (unconstrained) optimization, the Wolfe conditions are a set of inequalities for performing inexact linesearch, especially in quasi-Newton methods. Inexact line searches provide an efficient way of computing an acceptable step length $alpha$ that reduces the cost 'sufficiently', rather than minimizing the cost over $alphainmathbb R$ exactly.

Let $f:mathbb R^n omathbb R$ be a smooth objective function, and $mathbf\left\{p\right\}_k$ be a given search direction. A step length $alpha_k$ is said to satisfy the "Wolfe conditions" if the following two inequalities hold.

:i) $f\left(mathbf\left\{x\right\}_k+alpha_kmathbf\left\{p\right\}_k\right)leq f\left(mathbf\left\{x\right\}_k\right)+c_1alpha_kmathbf\left\{p\right\}_k^\left\{mathrm T\right\} abla f\left(mathbf\left\{x\right\}_k\right)$,:ii) $mathbf\left\{p\right\}_k^\left\{mathrm T\right\} abla f\left(mathbf\left\{x\right\}_k+alpha_kmathbf\left\{p\right\}_k\right)geq c_2mathbf\left\{p\right\}_k^\left\{mathrm T\right\} abla f\left(mathbf\left\{x\right\}_k\right)$,

with Armijo rule and ii) as the curvature condition; i) ensures that $alpha_k$ decreases $f$ 'sufficiently', and ii) ensures that the slope of the function $phi\left(alpha\right)=f\left(mathbf\left\{x\right\}_k+alphamathbf\left\{p\right\}_k\right)$ at $alpha_k$ is greater than $c_2$ times that at $alpha = 0$.

The Wolfe conditions, however, can result in a value for the step length that is not close to a minimizer of $phi$. If we modify the curvature condition to the following,

:iia)

then i) and iia) together form the so-called strong Wolfe conditions, and force $alpha_k$ to lie close to a critical point of $phi$.

The Goldstein conditions are similar but more commonly used with Newton methods (as opposed to quasi-Newton methods).

References

* J. Nocedal and S. J. Wright, Numerical optimization. Springer Verlag, New York, NY, 1999.

Wikimedia Foundation. 2010.

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