Wolstenholme's theorem


Wolstenholme's theorem

In mathematics, Wolstenholme's theorem states that for a prime number "p" > 3, the congruence:{2p-1 choose p-1} equiv 1 , mod , p^3

holds, where the parentheses denote a binomial coefficient. For example, with "p" = 7, this says that 1716 is one more than a multiple of 343. An equivalent formulation is the congruence:{ap choose bp} equiv {a choose b} mod , p^3.The theorem was first proved by Joseph Wolstenholme in 1862; Charles Babbage had shown the equivalent for "p"2 in 1819.

No known composite numbers satisfy Wolstenholme's theorem. Very few prime numbers satisfy the equivalent for "p"4: the two known values that do, 16843 and 2124679, are called "Wolstenholme primes". The existing Wolstenholme primes are consistent with the heuristic that the residue modulo "p"4 is a pseudo-random multiple of "p"3. This heuristic predicts that the number of Wolstenholme primes less than "N" is roughly "ln ln N".

Wolstenholme's theorem can also be expressed as a pair of Bernoulli number congruences: :(p-1)!left(1+{1 over 2}+{1 over 3}+...+{1 over p-1} ight) equiv 0 , mod , p^2 mbox{, and}:(p-1)!^2left(1+{1 over 2^2}+{1 over 3^2}+...+{1 over (p-1)^2} ight) equiv 0 , mod , p. For example, with "p"=7, the first of these says that 1764 is a multiple of 49, while the second says 773136 is a multiple of 7.

ee also

* Fermat's little theorem

References

J. Wolstenholme, "On certain properties of prime numbers", Quarterly Journal of Mathematics 5 (1862), pp. 35–39.


Wikimedia Foundation. 2010.

Look at other dictionaries:

  • Wolstenholme prime — In number theory, a Wolstenholme prime is a certain kind of prime number. A prime p is called a Wolstenholme prime iff the following condition holds::2p 1}choose{p 1 equiv 1 pmod{p^4}.Wolstenholme primes are named after Joseph Wolstenholme who… …   Wikipedia

  • Wolstenholme-Primzahl — Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. In einer möglichen Form besagt er: Ist eine Primzahl, so ist der Zähler der rationalen Zahl durch p2 teilbar.[1] …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Wolstenholme — Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. In einer möglichen Form besagt er: Ist eine Primzahl, so ist der Zähler der rationalen Zahl durch p2 teilbar.[1][2] …   Deutsch Wikipedia

  • Joseph Wolstenholme — (September 30, 1829 November 18, 1891) was an English mathematician.Wolstenholme was born in Eccles near Salford, Lancashire, England He is also known as Joe Wolstenholme, as he took many trips to Manchester as a young boy and lived in Oldham for …   Wikipedia

  • Fermats letztes Theorem — Pierre de Fermat. Der große fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1993 von Wiles und Taylor bewiesen (1995 veröffentlicht). Er besagt, dass die n te Potenz einer Zahl, wenn n > 2 ist, nicht in die… …   Deutsch Wikipedia

  • Théorème de Wolstenholme — Le théorème de Wolstenholme, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme, énonce que pour tout nombre premier , La congruence analogue modulo p2 avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage. La preuve originelle de Wolstenholme n utilise que des… …   Wikipédia en Français

  • Теорема Вольстенхольма — (англ. Wolstenholme s theorem) утверждает, что для любого простого числа выполняется сравнение где   средний биномиальный коэффициент. Эквивалентное сравнение Неизвестны составные числа, удовлетворяющие теореме Вольстенхол …   Википедия

  • List of mathematics articles (W) — NOTOC Wad Wadge hierarchy Wagstaff prime Wald test Wald Wolfowitz runs test Wald s equation Waldhausen category Wall Sun Sun prime Wallenius noncentral hypergeometric distribution Wallis product Wallman compactification Wallpaper group Walrasian… …   Wikipedia

  • Fermats Großer Satz — Pierre de Fermat. Der große fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1993 von Wiles und Taylor bewiesen (1995 veröffentlicht). Er besagt, dass die n te Potenz einer Zahl, wenn n > 2 ist, nicht in die… …   Deutsch Wikipedia

  • Fermats letzter Satz — Pierre de Fermat. Der große fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1993 von Wiles und Taylor bewiesen (1995 veröffentlicht). Er besagt, dass die n te Potenz einer Zahl, wenn n > 2 ist, nicht in die… …   Deutsch Wikipedia


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.