Tanaka's formula

Tanaka's formula

In the stochastic calculus, Tanaka's formula states that

:|B_t| = int_0^t sgn(B_s) dB_s + L_t

where "B""t" is the standard Brownian motion, sgn denotes the sign function

:sgn (x) = egin{cases} +1, & x geq 0; \ -1, & x < 0. end{cases}

and "L""t" is its "local time" at 0 given by the "L"2-limit

:L_{t} = lim_{varepsilon downarrow 0} frac1{2 varepsilon} | { s in [0, t] | B_{s} in (- varepsilon, + varepsilon) } |.

Tanaka's formula is the explicit Doob-Meyer decomposition of the submartingale |"B""t"| into the martingale part (the integral on the right-hand side), and a non-decreasing predictable process (local time).

Outline of proof

The function |"x"| is not "C"2 in "x" at "x" = 0, so we cannot apply Ito's formula directly. But if we approximate it near zero (i.e. in [−"ε", "ε"] ) by parabolas :frac{x^2}{2|epsilon+frac{2}And use Ito's formula we can then take the limit as "&epsilon;" &rarr; 0, leading to Tanaka's formula.

References

* cite book
last = Øksendal
first = Bernt K.
authorlink = Bernt Øksendal
title = Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications
edition = Sixth edition
publisher=Springer
location = Berlin
year = 2003
id = ISBN 3-540-04758-1
(Example 5.3.2)
* cite book
last = Shiryaev
first = Albert N.
authorlink= Albert Shiryaev
title = Essentials of stochastic finance: Facts, models, theory
series = Advanced Series on Statistical Science &amp; Applied Probability No. 3
coauthors = trans. N. Kruzhilin
publisher = World Scientific Publishing Co. Inc.
location = River Edge, NJ
year = 1999
id = ISBN 981-02-3605-0


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