Cybenko theorem

Cybenko theorem

The Cybenko theorem is a theorem proved by George Cybenko in 1989 that says that a single hidden layer, feed forward neural network is capable of approximating any continuous, multivariate function to any desired degree of accuracy and that failure to map a function arises from poor choices for mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, dots , mathbf{w}_N, mathbf{alpha}, and mathbf{ heta} or an insufficient number of hidden neurons.

Formal statement

Let varphi be any continuous sigmoid-type function, e.g., varphi(xi) = 1/(1+e^{-xi}). Then, given any continuous real-valued function f on [0,1] ^n (or any other compact subset of R^n) and epsilon > 0, there exist vectors mathbf{w_1}, mathbf{w_2}, dots, mathbf{w_N}, mathbf{alpha} and mathbf{ heta} and a parameterized function G(mathbf{cdot},mathbf{w},mathbf{alpha},mathbf{ heta}): [0,1] ^n ightarrow R such that
|G(mathbf{x},mathbf{w},mathbf{alpha},mathbf{ heta}) - f(x)| < |epsilon| for all mathbf{x} in [0,1] ^n
where
G(mathbf{x},mathbf{w},mathbf{alpha},mathbf{ heta}) = sum_{i=1}^Nalpha_ivarphi(mathbf{w}_i^Tmathbf{x} + heta_i)
and mathbf{w}_i in R^n, alpha_i, heta_i in R, mathbf{w} = (mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, dots mathbf{w}_N), mathbf{alpha} = (alpha_1, alpha_2, dots, alpha_N), and mathbf{ heta} = ( heta_1, heta_2, dots , heta_N).

References

* Cybenko, G.V. (1989). Approximation by Superpositions of a Sigmoidal function, "Mathematics of Control, Signals and Systems", vol. 2 no. 4 pp. 303-314. [http://actcomm.dartmouth.edu/gvc/papers/approx_by_superposition.pdf electronic version]
* Hassoun, M. (1995) "Fundamentals of Artificial Neural Networks" MIT Press, p.48


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