# John's equation

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John's equation

John's equation is an ultrahyperbolic partial differential equation satisfied by the X-ray transform of a function. It is named after Fritz John.

Given a function $f:mathbb\left\{R\right\}^n ightarrow mathbb\left\{R\right\}$ with compact support the "X-ray transform" is the integral over all lines in $mathbb\left\{R\right\}^n$. We will parameterise the lines by pairs of points $x,y in mathbb\left\{R\right\}^n, x e y$ on each line and define "u" as the ray transform where:$u\left(x,y\right) = intlimits_\left\{-infty\right\}^\left\{infty\right\} f\left( x + t\left(x-y\right) \right) dt$then "u" satisfies John's equation:$frac\left\{partial^2u\right\}\left\{partial x_i partial y_j\right\} - frac\left\{partial^2u\right\}\left\{partial y_i partial x_j\right\}=0$In three dimensional x-ray computerized tomography John's equation can be solved to fill in missing data, for example where the data is obtained from a point source traversing a curve, typically a helix.

More generally an "ultrahyperbolic" partial differential equation (a term coined by Richard Courant) is a second order partial differential equation of the form:$sumlimits_\left\{i,j=1\right\}^\left\{2n\right\} a_\left\{ij\right\}frac\left\{partial^2 u\right\}\left\{partial x_i partial x_j\right\} + sumlimits_\left\{i=1\right\}^\left\{2n\right\} b_ifrac\left\{partial u\right\}\left\{partial x_i\right\} + cu =0$where $n ge 2$, such that the quadratic form:$sumlimits_\left\{i,j=1\right\}^\left\{2n\right\} a_\left\{ij\right\} xi_i xi_j$can be reduced by a linear change of variables to the form :$sumlimits_\left\{i=1\right\}^\left\{n\right\} xi_i^2 - sumlimits_\left\{i=n+1\right\}^\left\{2n\right\} xi_i^2$Unlike the wave equation and other hyperbolic partial differential equations, it is not possible to arbitrarily specify the value of the solution on a non-characteristic hypersurface. John's paper however does give examples of manifolds on which an arbitrary specification of "u" can be extended to a solution.

References

* Fritz John, The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables, Duke Math. J. 4, no. 2 (1938), 300–322
* S K Patch, Consistency conditions upon 3D CT data and the wave equation, Phys. Med. Biol. 47 No 15 (7 August 2002) 2637-2650 doi|10.1088/0031-9155/47/15/306

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