John's equation


John's equation

John's equation is an ultrahyperbolic partial differential equation satisfied by the X-ray transform of a function. It is named after Fritz John.

Given a function f:mathbb{R}^n ightarrow mathbb{R} with compact support the "X-ray transform" is the integral over all lines in mathbb{R}^n. We will parameterise the lines by pairs of points x,y in mathbb{R}^n, x e y on each line and define "u" as the ray transform where: u(x,y) = intlimits_{-infty}^{infty} f( x + t(x-y) ) dt then "u" satisfies John's equation: frac{partial^2u}{partial x_i partial y_j} - frac{partial^2u}{partial y_i partial x_j}=0 In three dimensional x-ray computerized tomography John's equation can be solved to fill in missing data, for example where the data is obtained from a point source traversing a curve, typically a helix.

More generally an "ultrahyperbolic" partial differential equation (a term coined by Richard Courant) is a second order partial differential equation of the form: sumlimits_{i,j=1}^{2n} a_{ij}frac{partial^2 u}{partial x_i partial x_j} + sumlimits_{i=1}^{2n} b_ifrac{partial u}{partial x_i} + cu =0where n ge 2, such that the quadratic form: sumlimits_{i,j=1}^{2n} a_{ij} xi_i xi_jcan be reduced by a linear change of variables to the form : sumlimits_{i=1}^{n} xi_i^2 - sumlimits_{i=n+1}^{2n} xi_i^2 Unlike the wave equation and other hyperbolic partial differential equations, it is not possible to arbitrarily specify the value of the solution on a non-characteristic hypersurface. John's paper however does give examples of manifolds on which an arbitrary specification of "u" can be extended to a solution.

References

* Fritz John, The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables, Duke Math. J. 4, no. 2 (1938), 300–322
* S K Patch, Consistency conditions upon 3D CT data and the wave equation, Phys. Med. Biol. 47 No 15 (7 August 2002) 2637-2650 doi|10.1088/0031-9155/47/15/306


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