# F-distribution

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F-distribution

Probability distribution
name =Fisher-Snedecor
type =density
pdf_

cdf_

parameters =$d_1>0, d_2>0$ deg. of freedom
support =$x in \left[0, +infty\right)!$
pdf =$frac\left\{sqrt\left\{frac\left\{\left(d_1,x\right)^\left\{d_1\right\},,d_2^\left\{d_2$
{(d_1,x+d_2)^{d_1+d_2{x,mathrm{B}!left(frac{d_1}{2},frac{d_2}{2} ight)}!
cdf =$I_\left\{frac\left\{d_1 x\right\}\left\{d_1 x + d_2\left(d_1/2, d_2/2\right)!$
mean =$frac\left\{d_2\right\}\left\{d_2-2\right\}!$ for $d_2 > 2$
median =
mode =$frac\left\{d_1-2\right\}\left\{d_1\right\};frac\left\{d_2\right\}\left\{d_2+2\right\}!$ for $d_1 > 2$
variance =$frac\left\{2,d_2^2,\left(d_1+d_2-2\right)\right\}\left\{d_1 \left(d_2-2\right)^2 \left(d_2-4\right)\right\}!$ for $d_2 > 4$
skewness =$frac\left\{\left(2 d_1 + d_2 - 2\right) sqrt\left\{8 \left(d_2-4\right)\left\{\left(d_2-6\right) sqrt\left\{d_1 \left(d_1 + d_2 -2\right)!$
for $d_2 > 6$
kurtosis ="see text"
entropy =
mgf ="does not exist, raw moments defined elsewhere"
char ="defined elsewhere"
In probability theory and statistics, the "F"-distribution is a continuous probability distribution.Abramowitz_Stegun_ref|26|946] [NIST (2006). [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3665.htm Engineering Statistics Handbook - F Distribution] ] [cite book
last = Mood
first = Alexander
coauthors = Franklin A. Graybill, Duane C. Boes
title = Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 246-249)
publisher = McGraw-Hill
date = 1974
isbn = 0-07-042864-6
] It is also known as Snedecor's "F" distribution or the Fisher-Snedecor distribution (after R.A. Fisher and George W. Snedecor). The "F"-distribution arises frequently as the null distribution of a test statistic, especially in likelihood-ratio tests, perhaps most notably in the analysis of variance; see F-test.

Characterization

A random variate of the "F"-distribution arises as the ratio of two chi-squared variates:

:$frac\left\{U_1/d_1\right\}\left\{U_2/d_2\right\}$

where

*"U""1" and "U"2 have chi-square distributions with "d""1" and "d"2 degrees of freedom respectively, and

*"U"1 and "U"2 are independent (see Cochran's theorem for an application).

The probability density function of an "F"("d"1, "d"2) distributed random variable is given by

:$f\left(x\right) = frac\left\{left\left(frac\left\{d_1,x\right\}\left\{d_1,x + d_2\right\} ight\right)^\left\{d_1/2\right\} ; left\left(1-frac\left\{d_1,x\right\}\left\{d_1,x + d_2\right\} ight\right)^\left\{d_2/2\left\{x; mathrm\left\{B\right\}\left(d_1/2, d_2/2\right)\right\}$

for real "x" &ge; 0, where "d"1 and "d"2 are positive integers, and B is the beta function.

The cumulative distribution function is $F\left(x\right)=I_\left\{frac\left\{d_1 x\right\}\left\{d_1 x + d_2\left(d_1/2, d_2/2\right)$

where "I" is the regularized incomplete beta function.

The expectation, variance, and other details about the $F\left(d_1,d_2\right)$ are given in the sidebox; for $d_2>8$, the kurtosis is:$frac\left\{20d_2-8d_2^2+d_2^3+44d_1-32d_1d_2+A\right\}\left\{d_1\left(d_2-6\right)\left(d_2-8\right)\left(d_1+d_2-2\right)/12\right\}$ where $A=5d_2^2d_1-22d_1^2+5d_2d_1^2-16.$

Generalization

A generalization of the (central) F-distribution is the noncentral F-distribution.

Related distributions and properties

*If $X sim mathrm\left\{F\right\}\left( u_1, u_2\right)$ then $Y = lim_\left\{ u_2 o infty\right\} u_1 X$ has the chi-square distribution $chi^2_\left\{ u_\left\{1$
*$operatorname\left\{F\right\}\left( u_1, u_2\right)$ is equivalent to the scaled Hotelling's T-square distribution $\left( u_1\left( u_1+ u_2-1\right)/ u_2\right)operatorname\left\{T\right\}^2\left( u_1, u_1+ u_2-1\right)$.
*If $X sim operatorname\left\{F\right\}\left( u_1, u_2\right),$ then $frac\left\{1\right\}\left\{X\right\} sim F\left( u_2, u_1\right)$.
*if $X sim mathrm\left\{t\right\}\left( u\right)!$ has a Student's t-distribution then $X^2 sim operatorname\left\{F\right\}\left( u_1 = 1, u_2 = u\right)$.
*if $X sim operatorname\left\{F\right\}\left( u_1, u_2\right)$ and $Y=frac\left\{ u_1 X/ u_2\right\}\left\{1+ u_1 X/ u_2\right\}$ then $Y sim operatorname\left\{Beta\right\}\left( u_1/2, u_2/2\right)$ has a Beta-distribution.
*if $operatorname\left\{Q\right\}_X\left(p\right)$ is the quantile $p$ for $Xsim operatorname\left\{F\right\}\left( u_1, u_2\right)$ and $operatorname\left\{Q\right\}_Y\left(p\right)$ is the quantile $p$ for $Ysim operatorname\left\{F\right\}\left( u_2, u_1\right)$ then $operatorname\left\{Q\right\}_X\left(p\right)=1/operatorname\left\{Q\right\}_Y\left(p\right)$.

References

* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3673.htm Table of critical values of the "F"-distribution]
* [http://home.clara.net/sisa/signhlp.htm Online significance testing with the F-distribution]
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html Distribution Calculator] Calculates probabilities and critical values for normal, t-, chi2- and F-distribution
* [http://www.danielsoper.com/statcalc/calc39.aspx Cumulative distribution function (CDF) calculator for the Fisher F-distribution]
* [http://www.danielsoper.com/statcalc/calc38.aspx Probability density function (PDF) calculator for the Fisher F-distribution]

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