# Simple module

﻿
Simple module

In abstract algebra, a (left or right) module "S" over a ring "R" is called simple or irreducible if it is not the zero module 0 and if its only submodules are 0 and "S". Understanding the simple modules over a ring is usually helpful because these modules form the "building blocks" of all other modules in a certain sense.

Examples

Abelian groups are the same as Z-modules. The simple Z-modules are precisely the cyclic groups of prime order.

If "K" is a field and "G" is a group, then a group representation of "G" is a left module over the group ring "KG". The simple "KG" modules are also known as irreducible representations. A major aim of representation theory is to list those irreducible representations for a given group.

Given a ring "R" and a left ideal "I" in "R" then "I" is a simple "R"-module if and only if "I" is a minimal left ideal in "R" (does not contain any other non trivial left ideals). The factor module "R"/"I" is a simple "R"-module if and only if "I" is a maximal left ideal in "R" (is not contained in any other non-trivial left ideals).

Properties

The simple modules are precisely the modules of length 1; this is a reformulation of the definition.

Every simple module is indecomposable, but the converse is in general not true.

Every simple module is cyclic, that is it is generated by one element

Not every module has a simple submodule; consider for instance the Z-module Z in light of the first example above.

If "S" is a simple module and "f" : "S" &rarr; "T" is a module homomorphism, then "f" is either the zero homomorphism or injective. This is because the kernel of "f" is a submodule of "S" and thus is, by the definition of a simple module, either 0 or "S". If "T" is also a simple module, then "f" is either zero or an isomorphism. This is because the image of "f" is a submodule of "T" and thus is either 0 or "T". Taken together, this implies that the endomorphism ring of any simple module is a division ring. This result is known as Schur's lemma.

The converse of Schur's lemma is not true in general. For example, the Z-module Q is not simple, but its endomorphism ring is isomorphic to the field Q.

* Semisimple modules are modules that can be written as a sum of simple submodules
* Simple groups are similarly defined to simple modules

Wikimedia Foundation. 2010.

### Look at other dictionaries:

• Module Semi-Simple — Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un A module où A désigne un anneau est qualifié de semi simple ou de complètement réductible si et seulement s il est somme directe de… …   Wikipédia en Français

• Module Sur Un Anneau — Un module sur un anneau unitaire est une structure algébrique qui généralise celle d espace vectoriel et celle d idéal d un anneau. Dans un espace vectoriel l ensemble des scalaires forme un corps tandis que dans un module, ceux ci sont de… …   Wikipédia en Français

• Module Fidèle — Un module M sur un anneau A e est dit fidèle si son annulateur est réduit à {0}, en d autres termes, si l action de chaque est non triviale ( pour un certain ). Autrement dit, un module est fidèle si la représentation associée est injective. À… …   Wikipédia en Français

• Module Libre — En mathématiques, en algèbre, un module libre est un module qui possède une base. Étant donné un anneau A, l exemple le plus immédiat de A module libre est An. Soit M un R module, l ensemble E = {e1, e2, ... en} est une base libre pour M si  …   Wikipédia en Français

• Module fidele — Module fidèle Un module M sur un anneau A e est dit fidèle si son annulateur est réduit à {0}, en d autres termes, si l action de chaque est non triviale ( pour un certain ). Autrement dit, un module est fidèle si la représentation associée est… …   Wikipédia en Français

• Module Monogène — Un module monogène est un module qui peut être engendré par un seul élément, par exemple est engendré par 1. Algèbre commutative Algèbre • Anneau commutatif • Anneau euclidien • Anneau factoriel • Anneau noethérien • Anneau principal • Annulateur …   Wikipédia en Français

• Module monogene — Module monogène Un module monogène est un module qui peut être engendré par un seul élément, par exemple est engendré par 1. Algèbre commutative Algèbre • Anneau commutatif • Anneau euclidien • Anneau factoriel • Anneau noethérien • Anneau… …   Wikipédia en Français

• Module semi-simple — Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi simple ou complètement réductible s il est somme directe de sous modules simples ou, ce qui …   Wikipédia en Français

• Module (mathematics) — For other uses, see Module (disambiguation). In abstract algebra, the concept of a module over a ring is a generalization of the notion of vector space, wherein the corresponding scalars are allowed to lie in an arbitrary ring. Modules also… …   Wikipedia

• Module sur un anneau — En mathématiques, au sein des structures algébriques, « un module est à un anneau ce qu un espace vectoriel est à un corps »[1] : pour un espace vectoriel, l ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet… …   Wikipédia en Français