List of integrals of trigonometric functions

The following is a list of integrals (antiderivative functions) of trigonometric functions. For integrals involving both exponential and trigonometric functions, see List of integrals of exponential functions. For a complete list of Integral functions, see lists of integrals. See also trigonometric integral.

In all formulas the constant "a" is assumed to be nonzero, and "C" denotes the constant of integration.

Integrals containing only sine

: $intsin\; ax;dx\; =\; -frac\{1\}\{a\}cos\; ax+C,!$

: $intsin^2\; \{ax\};dx\; =\; frac\{x\}\{2\}\; -\; frac\{1\}\{4a\}\; sin\; 2ax\; +C=\; frac\{x\}\{2\}\; -\; frac\{1\}\{2a\}\; sin\; axcos\; ax\; +C!$

: $int\; xsin^2\; \{ax\};dx\; =\; frac\{x^2\}\{4\}\; -\; frac\{x\}\{4a\}\; sin\; 2ax\; -\; frac\{1\}\{8a^2\}\; cos\; 2ax\; +C!$

: $int\; x^2sin^2\; \{ax\};dx\; =\; frac\{x^3\}\{6\}\; -\; left(\; frac\; \{x^2\}\{4a\}\; -\; frac\{1\}\{8a^3\}\; ight)\; sin\; 2ax\; -\; frac\{x\}\{4a^2\}\; cos\; 2ax\; +C!$

: $intsin\; b\_1xsin\; b\_2x;dx\; =\; frac\{sin\; [(b\_1-b\_2)x]\; \}\{2(b\_1-b\_2)\}-frac\{sin\; [(b\_1+b\_2)x]\; \}\{2(b\_1+b\_2)\}+C\; qquadmbox\{(for\; \}|b\_1|\; eq|b\_2|mbox\{)\},!$

: $intsin^n\; \{ax\};dx\; =\; -frac\{sin^\{n-1\}\; axcos\; ax\}\{na\}\; +\; frac\{n-1\}\{n\}intsin^\{n-2\}\; ax;dx\; qquadmbox\{(for\; \}n>0mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{sin\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}ln\; left|\; anfrac\{ax\}\{2\}\; ight|+C$

: $intfrac\{dx\}\{sin^n\; ax\}\; =\; frac\{cos\; ax\}\{a(1-n)\; sin^\{n-1\}\; ax\}+frac\{n-2\}\{n-1\}intfrac\{dx\}\{sin^\{n-2\}ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n>1mbox\{)\},!$

: $int\; xsin\; ax;dx\; =\; frac\{sin\; ax\}\{a^2\}-frac\{xcos\; ax\}\{a\}+C,!$

: $int\; x^nsin\; ax;dx\; =\; -frac\{x^n\}\{a\}cos\; ax+frac\{n\}\{a\}int\; x^\{n-1\}cos\; ax;dx\; qquadmbox\{(for\; \}n>0mbox\{)\},!$

: $int\_\{frac\{-a\}\{2^\{frac\{a\}\{2\; x^2sin^2\; \{frac\{npi\; x\}\{a;dx\; =\; frac\{a^3(n^2pi^2-6)\}\{24n^2pi^2\}\; qquadmbox\{(for\; \}n=2,4,6...mbox\{)\},!$

: $intfrac\{sin\; ax\}\{x\}\; dx\; =\; sum\_\{n=0\}^infty\; (-1)^nfrac\{(ax)^\{2n+1\{(2n+1)cdot\; (2n+1)!\}\; +C,!$

: $intfrac\{sin\; ax\}\{x^n\}\; dx\; =\; -frac\{sin\; ax\}\{(n-1)x^\{n-1\; +\; frac\{a\}\{n-1\}intfrac\{cos\; ax\}\{x^\{n-1\; dx,!$

: $intfrac\{dx\}\{1pmsin\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}\; anleft(frac\{ax\}\{2\}mpfrac\{pi\}\{4\}\; ight)+C$

: $intfrac\{x;dx\}\{1+sin\; ax\}\; =\; frac\{x\}\{a\}\; anleft(frac\{ax\}\{2\}\; -\; frac\{pi\}\{4\}\; ight)+frac\{2\}\{a^2\}lnleft|cosleft(frac\{ax\}\{2\}-frac\{pi\}\{4\}\; ight)\; ight|+C$

: $intfrac\{x;dx\}\{1-sin\; ax\}\; =\; frac\{x\}\{a\}cotleft(frac\{pi\}\{4\}\; -\; frac\{ax\}\{2\}\; ight)+frac\{2\}\{a^2\}lnleft|sinleft(frac\{pi\}\{4\}-frac\{ax\}\{2\}\; ight)\; ight|+C$

: $intfrac\{sin\; ax;dx\}\{1pmsin\; ax\}\; =\; pm\; x+frac\{1\}\{a\}\; anleft(frac\{pi\}\{4\}mpfrac\{ax\}\{2\}\; ight)+C$

Integrals containing only cosine

: $intcos\; ax;dx\; =\; frac\{1\}\{a\}sin\; ax+C,!$

: $intcos^n\; ax;dx\; =\; frac\{cos^\{n-1\}\; axsin\; ax\}\{na\}\; +\; frac\{n-1\}\{n\}intcos^\{n-2\}\; ax;dx\; qquadmbox\{(for\; \}n>0mbox\{)\},!$

: $int\; xcos\; ax;dx\; =\; frac\{cos\; ax\}\{a^2\}\; +\; frac\{xsin\; ax\}\{a\}+C,!$

: $intcos^2\; \{ax\};dx\; =\; frac\{x\}\{2\}\; +\; frac\{1\}\{4a\}\; sin\; 2ax\; +C\; =\; frac\{x\}\{2\}\; +\; frac\{1\}\{2a\}\; sin\; axcos\; ax\; +C!$

: $int\; x^2cos^2\; \{ax\};dx\; =\; frac\{x^3\}\{6\}\; +\; left(\; frac\; \{x^2\}\{4a\}\; -\; frac\{1\}\{8a^3\}\; ight)\; sin\; 2ax\; +\; frac\{x\}\{4a^2\}\; cos\; 2ax\; +C!$

: $int\; x^ncos\; ax;dx\; =\; frac\{x^nsin\; ax\}\{a\}\; -\; frac\{n\}\{a\}int\; x^\{n-1\}sin\; ax;dx,!$

: $int\_\{frac\{-a\}\{2^\{frac\{a\}\{2\; x^2cos^2\; \{frac\{npi\; x\}\{a;dx\; =\; frac\{a^3(n^2pi^2-6)\}\{24n^2pi^2\}\; qquadmbox\{(for\; \}n=1,3,5...mbox\{)\},!$

: $intfrac\{cos\; ax\}\{x\}\; dx\; =\; ln|ax|+sum\_\{k=1\}^infty\; (-1)^kfrac\{(ax)^\{2k\{2kcdot(2k)!\}+C,!$

: $intfrac\{cos\; ax\}\{x^n\}\; dx\; =\; -frac\{cos\; ax\}\{(n-1)x^\{n-1-frac\{a\}\{n-1\}intfrac\{sin\; ax\}\{x^\{n-1\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{cos\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}lnleft|\; anleft(frac\{ax\}\{2\}+frac\{pi\}\{4\}\; ight)\; ight|+C$

: $intfrac\{dx\}\{cos^n\; ax\}\; =\; frac\{sin\; ax\}\{a(n-1)\; cos^\{n-1\}\; ax\}\; +\; frac\{n-2\}\{n-1\}intfrac\{dx\}\{cos^\{n-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n>1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{1+cos\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}\; anfrac\{ax\}\{2\}+C,!$

: $intfrac\{dx\}\{1-cos\; ax\}\; =\; -frac\{1\}\{a\}cotfrac\{ax\}\{2\}+C,!$

: $intfrac\{x;dx\}\{1+cos\; ax\}\; =\; frac\{x\}\{a\}\; anfrac\{ax\}\{2\}\; +\; frac\{2\}\{a^2\}lnleft|cosfrac\{ax\}\{2\}\; ight|+C$

: $intfrac\{x;dx\}\{1-cos\; ax\}\; =\; -frac\{x\}\{a\}cotfrac\{ax\}\{2\}+frac\{2\}\{a^2\}lnleft|sinfrac\{ax\}\{2\}\; ight|+C$

: $intfrac\{cos\; ax;dx\}\{1+cos\; ax\}\; =\; x\; -\; frac\{1\}\{a\}\; anfrac\{ax\}\{2\}+C,!$

: $intfrac\{cos\; ax;dx\}\{1-cos\; ax\}\; =\; -x-frac\{1\}\{a\}cotfrac\{ax\}\{2\}+C,!$

: $intcos\; a\_1xcos\; a\_2x;dx\; =\; frac\{sin(a\_1-a\_2)x\}\{2(a\_1-a\_2)\}+frac\{sin(a\_1+a\_2)x\}\{2(a\_1+a\_2)\}+C\; qquadmbox\{(for\; \}|a\_1|\; eq|a\_2|mbox\{)\},!$

Integrals containing only tangent

: $int\; an\; ax;dx\; =\; -frac\{1\}\{a\}ln|cos\; ax|+C\; =\; frac\{1\}\{a\}ln|sec\; ax|+C,!$

: $int\; an^n\; ax;dx\; =\; frac\{1\}\{a(n-1)\}\; an^\{n-1\}\; ax-int\; an^\{n-2\}\; ax;dx\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{q\; an\; ax\; +\; p\}\; =\; frac\{1\}\{p^2\; +\; q^2\}(px\; +\; frac\{q\}\{a\}ln|qsin\; ax\; +\; pcos\; ax|)+C\; qquadmbox\{(for\; \}p^2\; +\; q^2\; eq\; 0mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{\; an\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}ln|sin\; ax|+C,!$

: $intfrac\{dx\}\{\; an\; ax\; +\; 1\}\; =\; frac\{x\}\{2\}\; +\; frac\{1\}\{2a\}ln|sin\; ax\; +\; cos\; ax|+C,!$

: $intfrac\{dx\}\{\; an\; ax\; -\; 1\}\; =\; -frac\{x\}\{2\}\; +\; frac\{1\}\{2a\}ln|sin\; ax\; -\; cos\; ax|+C,!$

: $intfrac\{\; an\; ax;dx\}\{\; an\; ax\; +\; 1\}\; =\; frac\{x\}\{2\}\; -\; frac\{1\}\{2a\}ln|sin\; ax\; +\; cos\; ax|+C,!$

: $intfrac\{\; an\; ax;dx\}\{\; an\; ax\; -\; 1\}\; =\; frac\{x\}\{2\}\; +\; frac\{1\}\{2a\}ln|sin\; ax\; -\; cos\; ax|+C,!$

Integrals containing only secant

:$int\; sec\{ax\}\; ,\; dx\; =\; frac\{1\}\{a\}ln\{left|\; sec\{ax\}\; +\; an\{ax\}\; ight+C$

:$int\; sec^n\{ax\}\; ,\; dx\; =\; frac\{sec^\{n-1\}\{ax\}\; sin\; \{ax\{a(n-1)\}\; ,+,\; frac\{n-2\}\{n-1\}int\; sec^\{n-2\}\{ax\}\; ,\; dx\; qquad\; mbox\{\; (for\; \}n\; e\; 1mbox\{)\},!$

:$int\; sec^n\{x\}\; ,\; dx\; =\; frac\{sec^\{n-2\}\{x\}\; an\{x\{n-1\}\; ,+,\; frac\{n-2\}\{n-1\}int\; sec^\{n-2\}\{x\},dx$ [Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008]

:$int\; frac\{dx\}\{sec\{x\}\; +\; 1\}\; =\; x\; -\; an\{frac\{x\}\{2+C$

Integrals containing only cosecant

:$int\; csc\{ax\}\; ,\; dx\; =\; -frac\{1\}\{a\}ln\{left|\; csc\{ax\}\; +\; cot\{ax\}\; ight+C$

:$int\; csc^2\{x\}\; ,\; dx\; =\; -cot\{x\}+C$

:$int\; csc^n\{ax\}\; ,\; dx\; =\; -frac\{csc^\{n-1\}\{ax\}\; cos\{ax\{a(n-1)\}\; ,+,\; frac\{n-2\}\{n-1\}int\; csc^\{n-2\}\{ax\}\; ,\; dx\; qquad\; mbox\{\; (for\; \}n\; e\; 1mbox\{)\},!$

Integrals containing only cotangent

:$intcot\; ax;dx\; =\; frac\{1\}\{a\}ln|sin\; ax|+C,!$

: $intcot^n\; ax;dx\; =\; -frac\{1\}\{a(n-1)\}cot^\{n-1\}\; ax\; -\; intcot^\{n-2\}\; ax;dx\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{1\; +\; cot\; ax\}\; =\; intfrac\{\; an\; ax;dx\}\{\; an\; ax+1\},!$

: $intfrac\{dx\}\{1\; -\; cot\; ax\}\; =\; intfrac\{\; an\; ax;dx\}\{\; an\; ax-1\},!$

Integrals containing both sine and cosine

: $intfrac\{dx\}\{cos\; axpmsin\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{asqrt\{2lnleft|\; anleft(frac\{ax\}\{2\}pmfrac\{pi\}\{8\}\; ight)\; ight|+C$

: $intfrac\{dx\}\{(cos\; axpmsin\; ax)^2\}\; =\; frac\{1\}\{2a\}\; anleft(axmpfrac\{pi\}\{4\}\; ight)+C$

: $intfrac\{dx\}\{(cos\; x\; +\; sin\; x)^n\}\; =\; frac\{1\}\{n-1\}left(frac\{sin\; x\; -\; cos\; x\}\{(cos\; x\; +\; sin\; x)^\{n\; -\; 1\; -\; 2(n\; -\; 2)intfrac\{dx\}\{(cos\; x\; +\; sin\; x)^\{n-2\; ight)$

: $intfrac\{cos\; ax;dx\}\{cos\; ax\; +\; sin\; ax\}\; =\; frac\{x\}\{2\}\; +\; frac\{1\}\{2a\}lnleft|sin\; ax\; +\; cos\; ax\; ight|+C$

: $intfrac\{cos\; ax;dx\}\{cos\; ax\; -\; sin\; ax\}\; =\; frac\{x\}\{2\}\; -\; frac\{1\}\{2a\}lnleft|sin\; ax\; -\; cos\; ax\; ight|+C$

: $intfrac\{sin\; ax;dx\}\{cos\; ax\; +\; sin\; ax\}\; =\; frac\{x\}\{2\}\; -\; frac\{1\}\{2a\}lnleft|sin\; ax\; +\; cos\; ax\; ight|+C$

: $intfrac\{sin\; ax;dx\}\{cos\; ax\; -\; sin\; ax\}\; =\; -frac\{x\}\{2\}\; -\; frac\{1\}\{2a\}lnleft|sin\; ax\; -\; cos\; ax\; ight|+C$

: $intfrac\{cos\; ax;dx\}\{sin\; ax(1+cos\; ax)\}\; =\; -frac\{1\}\{4a\}\; an^2frac\{ax\}\{2\}+frac\{1\}\{2a\}lnleft|\; anfrac\{ax\}\{2\}\; ight|+C$

: $intfrac\{cos\; ax;dx\}\{sin\; ax(1+-cos\; ax)\}\; =\; -frac\{1\}\{4a\}cot^2frac\{ax\}\{2\}-frac\{1\}\{2a\}lnleft|\; anfrac\{ax\}\{2\}\; ight|+C$

: $intfrac\{sin\; ax;dx\}\{cos\; ax(1+sin\; ax)\}\; =\; frac\{1\}\{4a\}cot^2left(frac\{ax\}\{2\}+frac\{pi\}\{4\}\; ight)+frac\{1\}\{2a\}lnleft|\; anleft(frac\{ax\}\{2\}+frac\{pi\}\{4\}\; ight)\; ight|+C$

: $intfrac\{sin\; ax;dx\}\{cos\; ax(1-sin\; ax)\}\; =\; frac\{1\}\{4a\}\; an^2left(frac\{ax\}\{2\}+frac\{pi\}\{4\}\; ight)-frac\{1\}\{2a\}lnleft|\; anleft(frac\{ax\}\{2\}+frac\{pi\}\{4\}\; ight)\; ight|+C$

: $intsin\; axcos\; ax;dx\; =\; frac\{1\}\{2a\}sin^2\; ax\; +c,!$

: $intsin\; a\_1xcos\; a\_2x;dx\; =\; -frac\{cos(a\_1+a\_2)x\}\{2(a\_1+a\_2)\}-frac\{cos(a\_1-a\_2)x\}\{2(a\_1-a\_2)\}\; +Cqquadmbox\{(for\; \}|a\_1|\; eq|a\_2|mbox\{)\},!$

: $intsin^n\; axcos\; ax;dx\; =\; frac\{1\}\{a(n+1)\}sin^\{n+1\}\; ax\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; -1mbox\{)\},!$

: $intsin\; axcos^n\; ax;dx\; =\; -frac\{1\}\{a(n+1)\}cos^\{n+1\}\; ax\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; -1mbox\{)\},!$

: $intsin^n\; axcos^m\; ax;dx\; =\; -frac\{sin^\{n-1\}\; axcos^\{m+1\}\; ax\}\{a(n+m)\}+frac\{n-1\}\{n+m\}intsin^\{n-2\}\; axcos^m\; ax;dx\; qquadmbox\{(for\; \}m,n>0mbox\{)\},!$

: also: $intsin^n\; axcos^m\; ax;dx\; =\; frac\{sin^\{n+1\}\; axcos^\{m-1\}\; ax\}\{a(n+m)\}\; +\; frac\{m-1\}\{n+m\}intsin^n\; axcos^\{m-2\}\; ax;dx\; qquadmbox\{(for\; \}m,n>0mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{sin\; axcos\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}lnleft|\; an\; ax\; ight|+C$

: $intfrac\{dx\}\{sin\; axcos^n\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a(n-1)cos^\{n-1\}\; ax\}+intfrac\{dx\}\{sin\; axcos^\{n-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{dx\}\{sin^n\; axcos\; ax\}\; =\; -frac\{1\}\{a(n-1)sin^\{n-1\}\; ax\}+intfrac\{dx\}\{sin^\{n-2\}\; axcos\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{sin\; ax;dx\}\{cos^n\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a(n-1)cos^\{n-1\}\; ax\}\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{sin^2\; ax;dx\}\{cos\; ax\}\; =\; -frac\{1\}\{a\}sin\; ax+frac\{1\}\{a\}lnleft|\; anleft(frac\{pi\}\{4\}+frac\{ax\}\{2\}\; ight)\; ight|+C$

: $intfrac\{sin^2\; ax;dx\}\{cos^n\; ax\}\; =\; frac\{sin\; ax\}\{a(n-1)cos^\{n-1\}ax\}-frac\{1\}\{n-1\}intfrac\{dx\}\{cos^\{n-2\}ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{sin^n\; ax;dx\}\{cos\; ax\}\; =\; -frac\{sin^\{n-1\}\; ax\}\{a(n-1)\}\; +\; intfrac\{sin^\{n-2\}\; ax;dx\}\{cos\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{sin^n\; ax;dx\}\{cos^m\; ax\}\; =\; frac\{sin^\{n+1\}\; ax\}\{a(m-1)cos^\{m-1\}\; ax\}-frac\{n-m+2\}\{m-1\}intfrac\{sin^n\; ax;dx\}\{cos^\{m-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: also: $intfrac\{sin^n\; ax;dx\}\{cos^m\; ax\}\; =\; -frac\{sin^\{n-1\}\; ax\}\{a(n-m)cos^\{m-1\}\; ax\}+frac\{n-1\}\{n-m\}intfrac\{sin^\{n-2\}\; ax;dx\}\{cos^m\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; nmbox\{)\},!$

: also: $intfrac\{sin^n\; ax;dx\}\{cos^m\; ax\}\; =\; frac\{sin^\{n-1\}\; ax\}\{a(m-1)cos^\{m-1\}\; ax\}-frac\{n-1\}\{m-1\}intfrac\{sin^\{n-2\}\; ax;dx\}\{cos^\{m-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{cos\; ax;dx\}\{sin^n\; ax\}\; =\; -frac\{1\}\{a(n-1)sin^\{n-1\}\; ax\}\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: $intfrac\{cos^2\; ax;dx\}\{sin\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}left(cos\; ax+lnleft|\; anfrac\{ax\}\{2\}\; ight|\; ight)\; +C$

: $intfrac\{cos^2\; ax;dx\}\{sin^n\; ax\}\; =\; -frac\{1\}\{n-1\}left(frac\{cos\; ax\}\{asin^\{n-1\}\; ax)\}+intfrac\{dx\}\{sin^\{n-2\}\; ax\}\; ight)\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\}$

: $intfrac\{cos^n\; ax;dx\}\{sin^m\; ax\}\; =\; -frac\{cos^\{n+1\}\; ax\}\{a(m-1)sin^\{m-1\}\; ax\}\; -\; frac\{n-m-2\}\{m-1\}intfrac\{cos^n\; ax;dx\}\{sin^\{m-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\},!$

: also: $intfrac\{cos^n\; ax;dx\}\{sin^m\; ax\}\; =\; frac\{cos^\{n-1\}\; ax\}\{a(n-m)sin^\{m-1\}\; ax\}\; +\; frac\{n-1\}\{n-m\}intfrac\{cos^\{n-2\}\; ax;dx\}\{sin^m\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; nmbox\{)\},!$

: also: $intfrac\{cos^n\; ax;dx\}\{sin^m\; ax\}\; =\; -frac\{cos^\{n-1\}\; ax\}\{a(m-1)sin^\{m-1\}\; ax\}\; -\; frac\{n-1\}\{m-1\}intfrac\{cos^\{n-2\}\; ax;dx\}\{sin^\{m-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\},!$

Integrals containing both sine and tangent

: $int\; sin\; ax\; an\; ax;dx\; =\; frac\{1\}\{a\}(ln|sec\; ax\; +\; an\; ax|\; -\; sin\; ax)+C,!$

: $intfrac\{\; an^n\; ax;dx\}\{sin^2\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a(n-1)\}\; an^\{n-1\}\; (ax)\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

Integrals containing both cosine and tangent

: $intfrac\{\; an^n\; ax;dx\}\{cos^2\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a(n+1)\}\; an^\{n+1\}\; ax\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; -1mbox\{)\},!$

Integrals containing both sine and cotangent

: $intfrac\{cot^n\; ax;dx\}\{sin^2\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a(n+1)\}cot^\{n+1\}\; ax\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; -1mbox\{)\},!$

Integrals containing both cosine and cotangent

: $intfrac\{cot^n\; ax;dx\}\{cos^2\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a(1-n)\}\; an^\{1-n\}\; ax\; +Cqquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},!$

Integrals with symmetric limits

: $int\_$-c^csin {x};dx = 0 !: $int\_$-c^ccos {x};dx = 2int_0^ccos {x};dx = 2int_-c^0cos {x};dx = 2sin {c} !: $int\_$-c^c an {x};dx = 0 !